Окончил среднюю школу, затем Балашовское высшее военное авиационное училище лётчиков. В 1989 году Лаптев окончил Центр подготовки лётчиков-испытателей ГК НИИ ВВС. С 1989 года он был лётчиком-испытателем 929-го Государственного лётно-испытательного центра имени Чкалова в городе Ахтубинске Астраханской области. С 2003 года являлся заместителем начальника этого центра по лётной подготовке.   Провёл большой курс работ, направленный на испытание новых самолётов различных типов и модификаций. Особенно большой вклад он внёс в ходе испытаний самолётов «Су-24» и «Су-34».

         Указом Президента Российской Федерации № 1101 от 20 сентября 2005 года за «мужество и героизм, проявленные при испытании новой авиационной техники» полковник Андрей Лаптев был удостоен высокого звания Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда» .

          Награжден тремя орденами Мужества, орденом «За военные заслуги», медалью «За спасение погибавших» и многими другими медалями.

2 февраля 2021 г. на Федеральном военном мемориальном кладбище состоялась церемония захоронения Героя Российской Федерации полковника Лаптева Андрея Александровича.